SPH公式总结

SPH基本公式

通过差值的方式，将所有的粒子更新，A为rj处的场量，j遍历所有粒子，mj为粒子j的质量，rj为粒子j的位置，ρj为密度，

受力分析

SPH算法中，去除网格概念，将流体通过大量的粒子进行模拟，所以一般来说可以用密度代替质量来表示力，对于每一个粒子而言，其由三部分组成，及“外力(或者叫重力)”，“压力”，“粘度力”

​是外力，一般而言就是重力，或者因为交互产生的力

​是流体内部的压力产生的作用力，相当于压力场的梯度，力的方向上需要是压力高的地方流向压力低的地方

​是由于粒子之间的速度差产生的力，称之为粘度，在液体内部，快速流动的部分会是假类似于剪切力的作用到速度慢的部分，这个力的大小和粘度系数​以及速度差​的二阶微分算子有关。

加速度

再根据牛顿定律：​可以推导出 ​ ,很多时候，我们会简化液体质量为1(不简化也没事，最终会消元)，也因此，可以推导出任意一点的粒子加速度为：

注意，这个公式的质量m会消元

密度

密度的计算需要将当前粒子和所有的粒子进行比较（包括自己这个粒子），求出密度结果

压力

对于某个粒子，压力可以这样算, 这个共识不太容易理解，B是体积模量(Bulk module)，​是粒子所在点的流体密度，​ 是一个常数

再根据加速度公式，和SPH基本场量公式，可以知道

体积模量B，表示不可压缩量，是材料对于表面四周压强产生形变程度的度量。它被定义为产生单位相对体积收缩所需的压强。单位为：Pa（N/m2），计算公式一般为：

粘度

粘度可以用这样的表示方式

在加速度中，可以消元m

速度

根据引擎和模拟设置的时间微分参数​ 以及加速度求速度公式 ​ 求的最终的速度

迭代

1. 欧拉法（Euler Method）

公式：

对于物体的运动，我们有经典的牛顿第二定律：

其中，a是加速度，v是速度，x是位置。

在欧拉法中，位置和速度的更新公式如下：

思想： 欧拉法是一种显式的方法，利用当前时刻的速度和加速度来预测下一个时刻的状态。这种方法简单直观，但精度较低。

优缺点：

• 优点：实现简单，计算量小，适合初学者和较简单的物理系统。

• 缺点：不适合高精度模拟，尤其是在系统中有大的加速度变化时，可能导致数值不稳定。

2. 隐式欧拉法（Implicit Euler Method）

公式：

隐式欧拉法的更新公式如下：

思想： 隐式欧拉法是隐式方法，速度和加速度的更新依赖于下一时刻的状态。这种方法相比显式欧拉法更为稳定，尤其在处理刚性物体或大加速度变化时具有更好的数值稳定性。

优缺点：

• 优点：数值稳定性好，适用于刚性系统。

• 缺点：每一步需要求解一个方程（例如求解加速度），计算量相对较大，且不容易并行化。

3. 半隐式欧拉法（Semi-Implicit Euler Method）

公式：

半隐式欧拉法结合了显式和隐式方法的优点：

思想： 半隐式欧拉法在处理刚性物体时表现良好，能够在不增加太多计算负担的情况下，改进数值稳定性。它常用于物理引擎中，尤其是处理速度和加速度的耦合。

优缺点：

• 优点：相较于显式欧拉法具有更好的稳定性，计算成本低。

• 缺点：虽然有较好的稳定性，但仍然可能在某些物理系统中出现不准确的结果，特别是对于较复杂的系统。

4. Verlet积分（Verlet Integration）

公式：

Verlet积分的基本公式如下：

该公式没有直接显式计算速度，而是通过加速度和位置更新来间接计算。

思想： Verlet积分是一种经典的积分方法，广泛应用于分子动力学和物理引擎中。它的优点是对数值稳定性较好，并且能够避免速度的直接计算，因此适合需要精确位置变化的模拟。

优缺点：

• 优点：对能量保存较好，数值稳定性较强，尤其适用于模拟长时间尺度的物理系统。

• 缺点：没有直接计算速度，难以在某些情况下得到精确的速度信息。计算成本较高。

5. 经典4阶Runge-Kutta（RK4）

公式：

RK4法是四阶精度的Runge-Kutta方法，计算公式如下：

其中, f(t_n, x_n) 是对系统状态的微分（etc. 速度、加速度）

思想： RK4法是一种显式方法，通过对系统进行四次估计，采用加权平均的方式来提高精度。它比欧拉法等简单方法具有更高的准确性。

优缺点：

• 优点：精度高，比欧拉法和隐式方法有更好的表现，适用于对精度要求较高的系统。

• 缺点：计算开销较大，需要四次评估函数，适用于时间步长较小的场景，不适用于极大计算量的实时模拟。